タスクと元データ

OSS社から依頼の調査のひとつに、サービスの認知に関する調査'task C'があります（標本サイズ$n$: 300）。「オフィス向けに据え置き菓子を提供するサービスの業態」が存在することがどの程度認知されているかの調査です。

taskC)ある地域の一定の条件に合うすべての会社と団体→300社を抽出し「オフィス向けに据え置き菓子を提供するサービスの業態」の認知率を調査

OSS社はおよそ3年前、同様の調査をより大規模におこなっており、そのときの認知率（標本比率）は22.0%でした。この値を「母比率はこの値と等しい」という帰無仮説の基準値（$p_0$）とします。

下が今回の調査で集まったデータです。「区分」系列はカテゴリデータで、1が「認知している」状態、0が「認知していない」状態をあらわしています。これらについて両側、有意水準5%で統計的検定をおこないます。

z検定

仮説を設定する

帰無仮説として「母比率は比較値と一致している」を、対立仮説としては「母比率は比較値と一致していない」を立てます（両側検定）。帰無仮説が棄却されれば、3年前と現在の認知率の差は有意なものと考えることができます。

■ 帰無仮説 $\mathrm{H}_0 : p_{\mathrm{C}} = p_0$

･･･母比率は比較値と一致している
$p_{\mathrm{C}}$ $p_0$ (差がない)

□ 対立仮説 $\mathrm{H}_1 : p_{\mathrm{C}} \neq p_0$

･･･母比率は比較値と一致していない
$p_{\mathrm{C}}$ $p_0$ (差がある)

検定統計量を求める

比率（YesかNoのような2択の割合）に関する検定は、原則的には二項分布の守備範囲です。しかしtask CのようにNが大きい場合（目安として$np_0$（$= 300 \times 0.22 = 66$）と$n(1-p_0)$（$= 300 \times 0.78 = 234$）がともに5以上）、標本比率$x/n$は正規分布で近似できます。$p$を帰無仮説が正しいと仮定したときの母比率$p_0$、$x/n$を$\hat{p}$と定義すると、平均$p_0$、分散$p_0(1-p_0)/n$の正規分布にしたがいます。これを$z$分布が使えるよう標準化した図の式を検定統計量とします（以下、検定統計量は一律$T$であらわします）。なお分母は帰無仮説の値$p_0$から計算できるため、母平均の検定とは異なり$t$分布を使う必要はありません。

$$ \Large T = \frac{ \displaystyle \hat{p} - p_0 }{ \displaystyle \sqrt{ \frac{p_0(1 - p_0)}{n} } } $$

$T$を求めるため、「（標本の）サイズ$n$」と「比較値$p_0$」（ここでは過去調査の認知率）をシートに用意します。

"認知している"状態の「標本比率$\hat{p}$」を求めます。カテゴリ'1'の個数をカウントし、$n$で割って計算します。

CELL E5=COUNTIF(B2:B301,1)/E2

$T$を計算します。分子と分母に分けて計算しています。

CELL E8=E5-E3
CELL E9=SQRT(E3*(1-E3)/E2)
CELL E10=E8/E9

[セルE8]=e5-e3 [セルE9]=sqrt(e3*(1-e3)/e2) [セルE10]=e8/e9

有意水準を入力する

「有意水準$\alpha$」を設定します。今回は5%の指示ですので、0.05とタイプします。

方法を選ぶ

ここから先の手続きとして、次の2つの方法があります。

方法1　$T$ と棄却限界値を比較する → すぐ下の手続きから
方法2　$P$ 値と有意水準を比較する → P値からのアプローチへ

棄却限界値からのアプローチ

【方法1】棄却限界値を求めます（右側）。片側検定の場合の値も計算していますが、task Cは両側検定なのであくまで参考です。

"両側"の計算式
CELL E15=NORM.S.INV(1-E12/2)

"片側"の計算式
CELL E16=NORM.S.INV(1-E12)

標準正規分布の z（パーセント点）の求め方

cf. 標準正規分布の確率とパーセント点の計算 with Excel

[セルE15]=norm.s.inv(1-e12/2) [セルE16]=norm.s.inv(1-e12)

棄却限界値は1.96とわかりました。$T$の値(6.69)は棄却域（淡い空色の線）にかかります。

P値からのアプローチ

【方法2】$P$ 値（有意確率）を求めます。両側検定の$P$ 値は片側検定の$P$ 値を2倍して求めます。片側の$P$ 値をまず計算し、その値を両側で参照する構造をとっています。

"片側"の計算式
CELL E16=1-NORM.S.DIST(ABS(E10), TRUE)
"両側"の計算式
CELL E15=E16*2

標準正規分布の確率の求め方

cf. 標準正規分布の確率とパーセント点の計算 with Excel

[セルE15]=e16*2 [セルE16]=1-norm.s.dist(abs(e10),true)

$P$ 値は「両側」で0.00000000002となりました（値が小さすぎるため通常は指数表記 [2.23268E-11 など] で表示されます）。

意味のある差なのか？

以上のとおり、方法1では $T$ > 棄却限界値、方法2では $P$ 値 < 有意水準$\alpha$ となりました。標本比率$\hat{p}$と比較値$p_0$との差(16%)について、「帰無仮説の下ではめったに起きないことが起きた」——そもそもの仮説が間違っていたと考えます。よって帰無仮説を棄却し、対立仮説を採択——確率的に意味のある差であったと判断します（帰無仮説と矛盾するデータが得られたことを意味し、対立仮説が証明されたわけではありません）。